Như đã nêu dưới đây, điện trường và từ trường được viết lần lượt là E và B, sử dụng các phép tính vectơ và phương trình đối xứng của Maxwell bằng các biểu thức có chứa E và B, và trước khi giới thiệu đến tenxơ ứng suất Maxwell thì ta hãy nhắc lại về hệ phương trình Maxwell:

Phương trình Maxwell trong hệ đơn vị SI

Tên	Dạng vi phân
Định luật Gauss (điện tích tạo ra điện trường)	∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}
Định luật Gauss cho từ trường	∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}
Phương trình Maxwell–Faraday (định luật cảm ứng Faraday)	∇ × E = − ∂ B ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}
Định luật Ampere (với sự bổ sung của Maxwell)	∇ × B = μ 0 J + μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t   {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\ }

1. Hãy bắt đầu về khái niệm lực Lorentz:

F = q ( E + v × B ) {\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}

lực trên mỗi đơn vị thể tích của hạt chưa biết điện tích bị phân li là:

f = ρ E + J × B {\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} }

2. Tiếp theo, ρ và J có thể thay thế cho hai trường E và B, sử dụng định luật Gauss thứ nhất và định luật Ampere ta có được:

f = ε 0 ( ∇ ⋅ E ) E + 1 μ 0 ( ∇ × B ) × B − ε 0 ∂ E ∂ t × B {\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}(\nabla \cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}(\nabla \times \mathbf {B} )\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} }

3. Biến thiên theo thời gian có thể được viết lại bằng một dạng vectơ Poynting, sử dụng định luật cảm ứng Faraday, ta có:

∂ ∂ t ( E × B ) = ∂ E ∂ t × B + E × ∂ B ∂ t = ∂ E ∂ t × B − E × ( ∇ × E ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} +\mathbf {E} \times {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} -\mathbf {E} \times (\nabla \times \mathbf {E} )}

viết lại hàm f ta có:

f = ε 0 ( ∇ ⋅ E ) E + 1 μ 0 ( ∇ × B ) × B − ε 0 ∂ ∂ t ( E × B ) − ε 0 E × ( ∇ × E ) , {\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}(\nabla \cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}(\nabla \times \mathbf {B} )\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )-\varepsilon _{0}\mathbf {E} \times (\nabla \times \mathbf {E} ),}

4. Vì luật Gauss cho từ trường ta có thể cho thêm (∇ ⋅ B)B vào:

f = ε 0 [ ( ∇ ⋅ E ) E − E × ( ∇ × E ) ] + 1 μ 0 [ ( ∇ ⋅ B ) B − B × ( ∇ × B ) ] − ε 0 ∂ ∂ t ( E × B ) . {\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[(\nabla \cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times (\nabla \times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[(\nabla \cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} -\mathbf {B} \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}

Triệt tiêu đi toán tử ∇×, sử dụng phép tính véctơ vi phân ta có:

1 2 ∇ ( A ⋅ A ) = A × ( ∇ × A ) + ( A ⋅ ∇ ) A , {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )=\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {A} ,}

dẫn đến:

f = ϵ 0 [ ( ∇ ⋅ E ) E + ( E ⋅ ∇ ) E ] + 1 μ 0 [ ( ∇ ⋅ B ) B + ( B ⋅ ∇ ) B ] − 1 2 ∇ ( ϵ 0 E 2 + 1 μ 0 B 2 ) − ϵ 0 ∂ ∂ t ( E × B ) . {\displaystyle \mathbf {f} =\epsilon _{0}\left[(\nabla \cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +(\mathbf {E} \cdot \nabla )\mathbf {E} \right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[(\nabla \cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {B} \right]-{\frac {1}{2}}\nabla \left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}

5. Biểu thức này chứa các đại lượng của điện từ và động lực và rất dễ dàng để tính toán. Nó có thể được viết gọn hơn bằng cách nêu ra khái niệm tenxơ ứng suất Maxwell:

σ i j ≡ ϵ 0 ( E i E j − 1 2 δ i j E 2 ) + 1 μ 0 ( B i B j − 1 2 δ i j B 2 ) , {\displaystyle \sigma _{ij}\equiv \epsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right),}

và hàm ý đúng tất cả nhưng biểu thức trên có thể viết thành dạng toán tử ∇⋅:

f + ϵ 0 μ 0 ∂ S ∂ t = ∇ ⋅ σ {\displaystyle \mathbf {f} +\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}\,=\nabla \cdot \mathbf {\sigma } } ,

6. Cuối cùng chúng ta có được một vectơ Poynting:

S = 1 μ 0 E × B . {\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .}

trong các mối quan hệ trên về định luật bảo toàn động lượng, mật độ phân cực ∇ ⋅ σ đại diện cho vectơ Poynting S.